Уровни энергии и вид image33-функций атома водорода. В атоме водорода электростатически взаимодействуют ядро с зарядом и электоон с зарядом —е и массой т. Потенциальную энергию их взаимодействияimage34подставим в уравнение Шредингера (II.8):

image35(П.9)

Потенциальное поле, создаваемое взаимодействием электрона и протона, сферически симметрично относительно ядра, как начала координат. Важные квантово-механические характеристики атома можно найти, рассматривая движение электрона в полярной сферической системе координат. Как известно, прямоугольные координаты связаны со сферическими соотношениями:image36

image37— угол, образованный радиусом-вектором г image38— угол, образованный осью х с проекцией радиус-вектора на плоскость Воспользуемся этими соотношениями и напишем уравнение Шредингера (II.9) в полярных сферических координатах *:

собой оператор Лапласа'image39выраженный в сферических полярных координатах.

Решение этого уравнения сопряжено с большими трудностями. Для упрощения задачи искомую собственную волновую функциюimage41в уравнении (II. 10), называемую атомной орбиталью (АО), представляют в виде произведения трех функций:

image42

Функция R (г) называется радиальной;image43— азимутальной,image44i — широтной.

Обычно угловая часть волновой функции обозначаетсяimage45. Не приводя подробного решения уравнения 11.10 *, рассмотрим лишь результаты определения радиальной и угловой частей волновой функции F.

Решением уравнения Шредингера относительно радиальной функции является выражение:image46-величины,

называемые полиномами Ляггера, представляют собой решения дифференциального уравнения:image47причемimage48 должно быть положительным целым числом или нулем.

Так как / целые числа, тоimage49

Решенияimage50угловой функции (так называемые сферические гармоники) удовлетворяют дифференциальному уравнению:

image51

Для этих функций выполнены периодические граничные условия, которые вытекают из требования неизменности волновой функцииimage52при заменеimage53

image54Если выразить функцию ¥ в зависимости от радиуса г, то уравнение (11.9) приводится к виду:

image55(11.11)

Для этого линейного дифференциального уравнения второго порядка решением являетсяimage56(с точностью до некоторого множителя), где постоянная а подбирается так, чтобы после подстановкиimage57в (11.11) получить тождество. Дифференцированиемimage58найдемimage59и вместе сimage60подставим в (II. 11).

После сокращения на член е~аг

image64

Уравнение (11.13) выражает наименьший (основной) уровень энергии в атоме водорода (п = 1). Знак минус означает, что для разведения электрона и протона на бесконечно большое расстояние требуется затрата энергии. Величина совпадает с радиусом аналогичной орбиты в теории Бора.image61

Можно показать, что уравнение Шредингера имеет и другие решения, в которых

энергия уровня ,image62тринимает дискретные значения при п= 2, 3,

4... . Эти новые уровни энергии свойственны возбужденному атому водорода. Число п, определяющее энергетический уровень электрона, называется главным квантовым числом.

Отсюда вытекает, что вид волновой функцииimage63 определяется заданной совокупностью чисел п, I, т. эту функцию означают символомimage67Чтобы различать конкретные орбитали, справа внизу у символа V

image66

вписывают цифрами 1, 2, 3... значения пи буквами s, р, d, f... значенияI = 0,1,

12, 3 соответственно. Например, орбиталь с п = 2 и I = 0 записывается орбиталь image68имеет п = 2, 1—1.image69

Таким образом, решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к трем взаимно связанным квантовым числам п = 1, 2, 3, 4, ..., = 0, 1, 2, 3, ...,

п - 1 (всего п значений для каждого I); т = 0,.±1, ±2, ±3 ±1 (всего 21 + 1

значений от —I до -И), которые характеризуют уровни энергииimage70и соответствующие им орбиталиimage71

Угловые части волновой функцииimage72и р-атомных орбиталей представлены в табл. 1 в зависимости от значений квантовых чисел I и т. Здесь же приведены полные волновые функцииimage73полученные с учетом радиальных частей R (г) для тех же АО.

Таблица 1 Нормированные волновые функции водородоподобных атомов;

image80

Квантовые числа, выводимые формально в ходе решения уравнения Шредингера, имеют конкретный физический смысл. Уже говорилось, что главное квантовое число п характеризует возможные уровни электронной энергии атома. Что касается орбитального квантгтого числа /, то теоретический анализ позволяет рассматривать его как величинуimage74орбитального момента количества движения электрона относительно оси г image75

Магнитное квантовое число т имеет смысл проекции орбитального моментаimage76 на некоторое направление. Какimage77так и его проекция могут принимать лишь дискретные значения, т. е. квантуются. С числом I связывается форма электронного облака, а с числом т — ориентация облака в пространстве. Главное квантовое число п определяет не только энергию, но и размер электронного облака: увеличение п соответствует увеличению энергии и размера облака.

Квантовые числа п, I, т недостаточны для полной характеристики энергии и состояния электрона в атоме. Изучение атомных спектров, снятых в магнитном поле, показало, что кроме трех степеней свободы движения (г, О и <р) электрон должен иметь еще и четвертую — вращение вокруг собственной оси. Проекция углового момента количества движения электрона на ось г может иметь два значенияimage78и

image79которые называются спиновыми квантовыми числами и обозначаются буквой ms.

Спиновое квантовое число не определяет форму, размер, ориентацию, энергию (при обычных условиях) электронного облака, однако оно имеет важное значение для теории электронной структуры атома, объяснения природы ковалентной связи, парамагнетизма и т. д.